■ Les systèmes dotés d'une masse s'attirent entre eux. C'est la gravitation universelle. Elle se modélise par une force `\vec(F)_"grav"` dirigée sur l'axe joignant les deux systèmes, de l'un vers l'autre et sa norme est proportionnelle à chacune des deux masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare :

où `\vecn` est un vecteur unitaire de la droite `(AB)` orienté de B vers A : `\vecn={\vec(BA)}/{\norm(\vec(AB))}`

■ Dans un référentiel galiléen, les systèmes obéissent aux lois du mouvement de Newton, notamment au principe fondamental de la dynamique :

■ La base vectorielle de Frenet, plus commode pour décrire les mouvements de rotation, s'appuient sur deux vecteurs de base, l'un tangentiel au mouvement orienté dans son sens, l'autre radial et centripète. Dans cette base, le vecteur accélération d'un système s'écrit :

Le système étudié est un objet céleste, comme par exemple une planète, une étoile, une comète, un satellite (naturel ou artificiel), un astéroïde, une sonde, etc. Ce système possède une masse `m`, il est soumis à l'attraction d'un centre attracteur de masse `M` (donc un autre objet céleste, bien plus massif que lui : `m≪M`).
On restreint l'étude aux systèmes dont la trajectoire est fermée (c'est-à-dire qu'elle forme une boucle), qu'on appelle l'orbite du système.Les orbites de tels systèmes sont des ellipses, figures mathématiques caractérisables par :

• le demi grand axe, noté `a`, bien souvent exprimé en km ;
• le demi petit axe, noté `b`, bien souvent exprimé en km ;
• les deux foyers `F_1` et `F_2`, qui sont deux points du grand axe, symétrique par rapport au petit axe. Ces deux points sont particuliers en ce sens que, quel que soit le point `K` de l'ellipse qui est choisi,
  `F_1K+F_2K=cste`
  
  Cela reviendrait à attacher une corde inextensible (pas élastique) aux foyers, à la tendre avec un stylo, et à faire bouger le stylo corde tendue. On tracerait alors une ellipse, c'est la méthode du jardidier.

Si dans une ellipse, `a=b`, les deux axes ont la même longueur, c'est un cercle. Le cercle est une ellipse particulière dont l'excentricité est nulle.

L'orbite étant fermé, le système repasse régulièrement par le même point, après un intervalle de temps constant, qui correspond à la durée d'un tour complet, qu'on appelle une révolution. Cette durée s'appelle la période orbitale et elle est notée `T`.

À la fin du XVIe siècle, la maîtrise du verre par les artisants verriers, notamment en Italie, permet la conception des premières lentilles. Galilée est le premier à concevoir une lunette astronomique et à la braquer vers le ciel. Tycho Brahe, astronome danois, exploite les lunettes astronomiques au début du XVIIe siècle pour réaliser un travail très méticuleux de relevé de la position de la planète Mars dans le ciel. Le mathématicien Johannes Kepler décortique les travaux très précis de Brahe et publie en 1605 et en 1619 les deux ouvrages Astronomia nova et Harmonices Mundi dans lesquels il livre les trois lois de la mécanique céleste.

Première loi de Kepler, appelée loi des orbites

Énoncé : "les planètes du système solaire décrivent des orbites elliptiques, dont le Soleil occupe un des foyers".
Cette loi peut se généraliser à tout système décrivant une orbite fermée autour d'un centre attracteur. Ainsi par exemple, les satellites naturels de Jupiter décrivent des orbites elliptiques dont Jupiter occupe un des foyers.

Deuxième loi de Kepler, appelée loi des aires

Énoncé : "le rayon vecteur joignant le centre attracteur au système balaye des aires égales en des durées égales".

Si la durée de parcours du premier secteur vert, `\Deltat_1`, est égale à la durée de parcours du deuxième secteur vert, `\Deltat_2`, alors les deux secteurs ont des aires égales : `A_1=A_2`.

Ainsi, plus le système est proche sur son orbite de son centre attracteur, plus sa vitesse orbitale est grande. La vitesse orbitale est maximale lorsque le système passe au plus proche de son centre attracteur, c'est-à-dire à l'extrémité du grand axe côté centre. Si le centre attracteur est le Soleil, ce point s'appelle le périhélie (péri = proche, hélie = Soleil). Si le centre attracteur est la Terre, c'est le périgée (péri = proche, géo = Terre).
Inversement, la vitesse orbitale est minimale lorsque le système est le plus éloigné du centre attracteur (à l'autre extrémité du grand axe), qu'on appelle aphélie ou apogée.

Troisième loi de Kepler, appelée loi des périodes

Énoncé : "le carré de la période orbitale est proportionnel au cube du demi grand axe et inversement proportionnel à la masse du centre attracteur."

ce qu'on écrit souvent

Exemple dans le cas du Soleil, en étudiant les périodes et les demi grands axes des planètes du système solaire :

Les distances ont été exprimées en unités astronomiques et les périodes en années terrestres. La mesure du coefficient directeur de la droite d'ajustement permettrait d'obtenir une estimation par le calcul de la masse du centre attracteur, c'est-à-dire ici le Soleil.

1. Système

Cette partie démontre la loi des périodes en s'aidant du principe fondamental de la dynamique. On s'intéresse pour cela au mouvement d'un système placé en orbite autour d'un centre attracteur. Pour simplifier l'étude, on fait l'hypothèse que l'orbite est circulaire : l'ellipse est donc sans excentricité, `a=b=R`, le rayon du cercle. Les deux foyers de l'ellipse se confondent en un seul et même point : le centre O du cercle. La masse du système est notée `m` et celle du centre attracteur est notée `M`.

2. Référentiel et repère

Le référentiel est celui du centre attracteur. Le repère choisi est la base de Frenet, attachée au système en orbite.

3. Bilan des forces

Le système, de centre de masse G est soumis à la force centrale d'attraction gravitationnelle exercée par le centre attracteur placé en O. Elle est radiale et centripète.

Puisque l'orbite est un cercle, la distance entre les points O et G est constante, c'est le rayon du cercle donc

4. Principe fondamental de la dynamique

D'après le principe fondamental de la dynamique,

soit ici, compte tenu du bilan des forces, Divisons membre à membre par la masse : Décomposons le vecteur accélération dans la base de Frenet : Identifions les coordonnées entre elles :

• le long du vecteur `\vecu`, `{dv}/{dt}=0 "(1)"`
• le long du vecteur `\vecn`, `{v^2}/R={GM}/{R^2} "(2)"`

5. Vitesse et mouvement uniforme

D'après l'équation `"(1)"`, puisque `{dv}/{dt}=0` alors `v=cste`, le mouvement est donc circulaire et uniforme.

D'après l'équation `"(2)"`,

donc On vérifie bien, en effet, que quelle que soit la position du système sur son orbite, G, M et R gardent les mêmes valeurs donc la norme de la vitesse est bel et bien constante.

6. Vérification de la loi des périodes

Puisque le mouvement est périodique, de période `T`, et qu'il est accompli à vitesse constante sur un cercle,

donc En combinant les équations `"(3)"` et `"(4)"`, Inversons membre à membre, Élevons au carré membre à membre, Divisons membre à membre par `R`, multiplions membre à membre par `4\pi^2`,

Définition

Un satellite géostationnaire est un satellite qui est fixe dans le référentiel terrestre. C'est donc un satellite qui occupe en permanence la même position dans le ciel du point de vue d'un observateur sur Terre. De tels satellites sont par exemple employés pour observer les masses d'air au-dessus de l'Europe dans le cadre de l'étude du climat et de la météorologie. Cette situation n'est possible qu'à deux conditions :

• l'orbite du satellite est contenue dans le plan équatorial de la Terre ;
• le satellite se trouve à une altitude `h` au-dessus du sol qui lui permet de parcourir son orbite toute entière en 24 h, durée pendant laquelle la Terre accomplit un tour complet sur elle-même.

Calcul de l'altitude géostationnaire

Il faut donc que pour le satellite, `T=24 h`. Or le satellite, sous l'action de la Terre qui joue le rôle de centre attracteur, obéit à la loi des périodes. La distance entre le centre de la Terre et le satellite est donnée par la somme du rayon terrestre et de l'altitude du satellite, donc la loi des périodes s'écrit :

Après quelques lignes d'algèbre, nous obtenons comme expression : Données :

• `G=6,67\times10^-11 N\cdotm^2\cdotkg^-2` 
• `M_T=5,97\times10^24 kg` ;
• `R_T=6,378\times10^6m`.

Alors, `h\approx35,8\times10^6 m`. L'orbite géostationnaire terrestre se trouve donc à une altitude d'environ trente-six mille kilomètres au-dessus du sol. Plus près, le satellite accomplirait un tour complet en moins de 24 h, il irait trop vite et serait en avance sur la zone terrestre à couvrir. Plus loin, en plus de 24 h.