■ Le courant électrique se modélise à l'échelle microscopique par un débit de charges électriques. En pratique, il s'agit d'un débit d'électrons dans une section de matériau conducteur comme le cuivre dans les fils. L'intensité du courant s'exprime en ampères et `1 A=1 C//s` où `C` est le symbole du coulomb, unité de la charge électrique. Dans un circuit électrique formé d'une maille unique, il y a unicité du courant électrique, cela signifie que que le courant électrique possède les mêmes caractéristiques en tout point du circuit (sens et intensité).

■ Un conducteur ohmique est un dipôle électrique qui obéit à la loi d'Ohm, c'est-à-dire que la tension à ses bornes est proportionnelle à l'intensité du courant qui le traverse. Le coefficient de proportionnalité est la résistance `R` du conducteur ohmique : `U_"dipôle"=R\cdotI_"dipôle"`.

Un condensateur est un dipôle électrique composé de deux armatures métalliques A et B (plaques) disposées l'une en regard de l'autre (en face de l'autre) et qui s'influencent : la charge électrique portée par l'une est opposée à la charge électrique portée par l'autre : `q_A=-q_B`. Les deux armatures sont séparées entre elles par une épaisseur de matériau isolant.
Par convention et dans la suite de notre étude, on désignera par la lettre A l'armature porteuse d'une charge électrique positive, c'est-à-dire celle reliée au pôle + du générateur dans le circuit, s'il y en a un.

Lorsque le condensateur est placé dans une branche de circuit électrique dans laquelle circule du courant, les charges électriques viennent s'accumuler sur une des armatures. Par influence, pour chaque nouvelle charge accumulée sur une armature, une charge électrique est éjectée de l'armature opposée, ce qui permet d'entretenir le courant électrique de l'autre côté du dipôle, et ce qui explique que les armatures portent des charges électriques opposées.
Le courant électrique a donc une intensité qui correspond à la charge électrique accumulée (ou libérée) par unité de temps sur les armatures :

Remarque : l'intensité du courant est notée avec la lettre `i` minuscule lorsque le régime est variable, ce qui veut dire que l'intensité et les autres grandeurs électrique du circuit peuvent voir leurs valeurs charger au cours du temps. Cette situation s'oppose au régime stationnaire.

La tension `U_C` aux bornes d'un condensateur est proportionnelle à la charge `q` (en valeur absolue) de chaque armature. Le coefficient de proportionnalité, noté `C`, s'appelle la capacité du condensateur. Elle s'exprime en farad, de symbole F. Bien souvent, la valeur de la capacité d'un condensateur est de l'ordre du nanofarad ou du microfarad.
En termes d'homogénéité, un farad équivaut, entre autres, à un coulomb par volt.

Dans cette partie, nous nous intéressons à la situation où un condensateur, initialement vide de charge, est placé dans un circuit électrique muni d'un générateur, prêt à lui fournir des charges électriques. Une telle situation s'appelle la charge d'un condensateur.

Description du circuit

Le circuit électrique à l'étude est donc composé :

• d'un générateur de tension continue, la tension à ses bornes est constante et est notée `E` ;
• d'un interrupteur ouvert à tout instant `t < 0`, puis fermé à `t ge 0`
• d'un conducteur ohmique, de résistance `R` ;
• d'un condensateur, de capacité `C` et de charge initiale `q_0=0` ;

les quatre dipôles étant assemblés en série. L'ordre est sans importance.

Comme toujours, le courant circule à l'extérieur du générateur de son pôle + vers son pôle -. Le générateur est accompagné sur le schéma d'une flèche pour représenter la tension à ses bornes orientée dans le sens du courant qui le traverse. En revanche, les autres dipôles étant des récepteurs, la flèche est orientée dans le sens opposé au courant.

La suite de notre étude va nous permettre d'établir la loi d'évolution de la tension aux bornes du condensateur, et cela à l'aide des lois de l'électricté à l'oeuvre dans le circuit.

1. Loi des mailles

Énoncé : "dans une maille, la somme des tensions algébriques aux bornes de toutes les branches est nulle".
Application dans la maille du circuit, dont quatre points VOLT ont été repérés en vert :

• en parcourant la branche de V vers O, nous croisons la tension `E` orientée dans le sens de notre parcours, nous la comptons positivement ;
• en parcourant la branche de O vers L, nous ne croisons aucune tension (car il n'en règne pas aux bornes d'un interrupteur, qui est un fil, conducteur idéal de courant) ;
• en parcourant la branche de L vers T, nous rencontrons la tension aux bornes du conducteur ohmique, mais orientée dans le sens opposé à notre parcours, nous la comptons négativement ;
• enfin en parcourant la branche de T vers V, nous rencontrons la tensions aux bornes du condensateur, mais orientée dans le sens opposé à notre parcours, nous la comptons négativement.

Ainsi la loi des mailles, notée `"(1)"`, devient :
soit encore Notez que la dépendance des grandeurs au temps a été explicitée en ajoutant `(t)` le cas échéant.

2. Loi d'Ohm

La tension `u_R(t)` vérifie la loi d'Ohm car il s'agit de la tension aux bornes d'un conducteur ohmique. Ainsi,

En injectant `"(2)"` dans `"(1)"`, nous obtenons

3. Relation entre intensité et charges

Nous nous souvenons que le courant électrique correspond à un débit de charges électriques. Ce courant, unique, en tout point du circuit de même intensité, correspond à la dérivée des charges électriques par rapport au temps, qui s'accumulent sur les armatures du condensateur :

En injectant `"(4)"` dans `"(3)"`, nous obtenons

4. Tension et charge aux bornes du condensateur

Puisque la tension `u_C(t)` est proportionnelle à la charge électrique portée par ses armatures,

où `C` est une constante dans le temps, caractéristique de la composition du condensateur.
Dérivons cette égalité par rapport au temps :
Injectons `"(6)"` dans `"(5)"` :
Divisons membre à membre par `RC` :
C'est la loi d'évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours du temps.
Cette loi est valable à n'importe quel instant `t ge 0`.

Remarques : cette égalité fait apparaître tout à la fois une fonction (ici `u_C(t)`) et sa dérivée (ici `{du_C(t)}/{dt}`), ce qu'on appelle une équation différentielle.
Seule la dérivée première figure, c'est une équation différentielle d'ordre 1 ou du premier ordre.
La fonction et sa dérivée apparaissent seules, sans puissance ou sans fonction cos ou sin ou log, l'équation est linéaire.
Les coefficients qui figurent devant la dérivée (ici `1\times`) et la fonction (ici `1/{RC}\times`) ne dépendent pas du temps, l'équation est à coefficients constants.
La fonction et sa dérivée ne dépendent que du temps et de rien d'autre, l'équation est ordinaire.
Le membre de droite de l'équation n'est pas `0`, l'équation est avec second membre.
Donc ici pour résumer, nous sommes face à une équation différentielle ordinaire linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Vérifions que l'équation est homogène en termes d'unités.

• le premier terme, `{du_C(t)}/{dt}` est le quotient d'une toute petite variation de tension, exprimée en volt, sur une toute petite durée, exprimée en secondes. Il s'exprime donc en `C\cdot s^-1`. C'est une tension par unité de temps ;
• le second terme, `{u_C(t)}/{RC}`, doit donc lui aussi être une tension par unité de temps. On en déduit que le produit d'une résistance et d'une capacité est homogène à un temps, qu'on pourra donc noter `\tau` et qu'on appellera temps caractéristique du circuit ;
• le second membre est donc lui aussi une tension par unité de temps.

Étudions les unités du produit `RC`, en se souvenant de la loi d'Ohm (2) et de la relation entre tension et charge : donc `RC` s'exprime en

Nous poursuivons notre étude en cherchant l'expression de `u_C(t)` qui satisfasse à l'équation différentielle établie, ce qui s'appelle résoudre l'équation différentielle.

6. Forme de la solution et résolution

Les équations différentielles telles que celle établie ci-dessus ont des solutions générales qui ont une forme commune :

où `A`, `B` et `k` sont trois grandeurs réelles constantes.
Nous devons identifier, dans notre contexte, ce que réprésente chacune de ces grandeurs et ce qu'elles valent. Nous allons pour cela injecter cette solution générale dans l'équation différentielle établie.
Commençons par exprimer la dérivée de la solution générale :
Injectons ces expressions dans l'équation différentielle :
Factorisons par `exp(k\cdot t)` et séparons dans un membre les termes dépendant du temps, dans l'autre membre les termes qui n'en dépendent pas :
Cette égalité indique qu'à chaque instant, le membre de gauche -qui dépend du temps- est égal au membre de droite -qui n'en dépend pas. Cette situation n'est possible qu'à une seule condition : les deux membres sont nuls en permanence. ce qui conduit à écrire
La solution générale devient donc ici :
Il reste à identifier la valeur de `B`. Nous allons pour cela exploiter les conditions initiales du problème, qui nous indiquaient que le condensateur est initialement déchargé donc `u_C(t=0)=0`, soit
Donc
Ainsi, la solution de l'équation différentielle relative à la charge du condensateur est :
soit en factorisant,

7. Représentation graphique et exploitation graphique

La figure ci-dessous donne la représentation graphique de la tension aux bornes d'un condensateur au cours du temps, telle qu'établie précédemment, en ayant choisi `R=10 k\Omega`, `C=100 \muF` et `E=5 V`.

D'après l'étude précédente, `\tau=R\cdotC` soit ici `\tau=1 s`. Ce temps caractéristique du circuit se manifeste graphiquement sous plusieurs aspects :

• au bout de quelques `\tau`, le condensateur a quasiment atteint sa charge maximale. On pourra considérer que c'est le cas après une durée de charge égale à `5\cdot\tau`, date à laquelle la charge a atteint 99,3 % de sa valeur maximale ;
• la courbe représentative admet une asymptote horizontale d'équation `u_C=E`, représentée ici en vert ;
• la tangente à l'origine du graphique, représentée ici en orange, intercepte l'asymptote horizontale en un point d'abscisse `t_"inter"=\tau` ;
• la tension aux bornes du condensateur a atteint 63 % de sa valeur maximale à l'intant `t=\tau`.

Toutes ces propriétés peuvent être démontrées à partir de la loi horaire de la charge du condensateur.

Dans cette partie, nous nous intéressons à la situation où un condensateur, initialement chargé, se comporte comme un réserve de charges électriques sous tension, prêt à les délivrer dans un circuit électrique, par exemple s'il est relié à un autre dipôle comme un conducteur ohmique. Le condensateur va alors se décharger.
Nous nous proposons, à nouveau, d'établir la loi d'évolution de la tension aux bornes du condensateur, sous la forme d'une équation différentielle, de la résoudre pour établir la loi horaire de la tension et enfin d'en étudier la représentation graphique.

Description du circuit

Le circuit de décharge est composé :

• d'un condensateur, de capacité `C`, initialement chargé, avec une tension initiale à ses bornes notée `u_"C0"` ;
• d'un interrupteur, fermé à `t ge 0` ;
• d'un conducteur ohmique de résistance `R`,

les trois dipôles étant assemblés en série. Nous conservons le même chevron pour représenter le courant électrique sans présager du sens de circulation, car l'intensité peut bien être de signe positif ou négatif, ce qui correspondrait à un sens ou à son opposé. Le condensateur et le conducteur ohmique sont des récepteurs donc à nouveau les tensions à leurs bornes sont représentées avec des flèches dans le sens opposé au courant qui les traverse.

1. Loi des mailles

Dans la maille VOLT, la loi des mailles ammène à écrire

soit encore, en multipliant par `-1`,

2. Loi d'Ohm

Compte tenu de la loi d'Ohm, l'équation `"(1)"` devient

3. Intensité et débit de charges

En exprimant `i(t)`, `"(2)"` devient

4. Tension et charge aux bornes du condensateur

Puisque `q=C\cdotU_C`, `"(3)"` devient

5. Équation différentielle et temps caractéristique

soit en divisant membre à membre par `RC`,

C'est l'équation différentielle de décharge du condensateur. Il s'agit d'une équation différentielle ordinaire linéaire du premier ordre à coefficients constants, mais cette fois-ci sans second membre.

À nouveau, le produit `RC` est homogène à un temps, noté là encore `\tau` et qui joue le rôle du temps caractéristique d'évolution de la tension aux bornes du condensateur durant sa décharge.

6. Forme de la solution générale et résolution

Les équations différentielles telles que celle établie ci-dessus ont toutes des solutions de la même forme :

où `B` et `k` sont deux constantes réelles dont il faudra déterminer les expressions en s'aidant de l'équation différentielle et des conditions initiales.

Pour injecter la solution proposée dans l'équation différentielle, exprimons d'abord sa dérivée par rapport au temps :

Injectons la solution proposée dans l'équation différentielle :
Factorisons :
Le membre de gauche dépend du temps, pas celui de droite : cette situation n'est possible que si à chaque instant, les deux membres sont nuls. Donc
et la solution proposée devient

Pour déterminer l'expression de `B`, nous allons exploiter les conditions initiales, selon lesquelles la tension aux bornes du condensateur vaut initialement `u_"C0"`. Or

et donc la solution s'écrit finalement

7. Représentation graphique et exploitation graphique

Nous constatons qu'à la décharge, les observations graphiques menées à la charge restent vraies :

• la courbe représentative admet une asymptote horizontale, cette fois d'équation `u_C=0` ;
• le condensateur est considéré comme déchargé après une durée de `5\cdot \tau` ;
• la tangente à l'origine à la courbe intercepte l'asymptote à la date `t=\tau` ;
• la tension aux bornes du condensateur vaut 37 % de sa valeur initiale après une durée `\tau` (soit ici 100 %-63 %).

Là encore, toutes ces propriétés peuvent être démontrées analytiquement à partir de la loi horaire de la décharge du condensateur.