■ L'énergie est une grandeur qui permet de caractériser l'état d'un système. Elle peut changer de forme dans un système (conversion) ou bien être échangée entre deux systèmes (transferts). Son unité légale est le Joule (J). Un joule représente l'énergie qu'il faut dépenser pour soulever d'environ 10 cm une bouteille d'eau d'un litre.

■ L'énergie cinétique est l'énergie liée à l'état de mouvement d'un système. Plus un système se déplace vite, plus l'énergie cinétique associée à son mouvement est grande.

■ L'énergie "de position" est l'énergie associée à une situation particulière d'un système, par exemple placé en altitude dans un champ de pesanteur. Plus l'altitude du système est grande, plus l'énergie "de position" associée est grande. On parlera de façon plus appropriée d'énergie potentielle.

■ Un système de masse m animé d'une vitesse `vec(v)` dans le référentiel de l'étude possède une énergie cinétique dont l'expression est :

■ L'énergie potentielle de pesanteur désigne l'énergie liée à la position d'un système placé en hauteur dans un champ de pesanteur. Un système de masse m placé à l'altitude z dans un champ de pesanteur d'intensité g possède une énergie potentielle de pesanteur dont l'expression est :

Une force est une grandeur qui modélise l'action qu'un système extérieur exerce sur le système étudié, ce qui peut faire varier son état de mouvement. Si la vitesse d'un système varie sous l'effet d'une force, l'énergie cinétique du système varie aussi : il y a transfert d'énergie avec le système étudié sous l'effet de la force.

On appelle travail de la force `vec(F)` et on note `W_{"AB"}(vec(F))` le transfert d'énergie qui s'opère avec le système sous l'effet de la force entre les positions A et B occupées par le système au cours de son mouvement. Le travail d'une force mesure l'énergie nécessaire pour déplacer le point d'application de cette force du point A vers le point B.
L'expression du travail est :

Dans le second membre de l'égalité, le point · qui sépare la force et la distance est le symbole pour désigner le produit vectoriel entre le vecteur force et le vecteur déplacement du système. La définition mathématique du produit vectoriel nous permet d'égaliser avec le troisième membre, à savoir le produit de la norme de la force, de la norme de la distance et du cosinus de l'angle formé par les deux vecteurs force et déplacement.
Le travail est une grandeur algébrique, c'est-à-dire que sa valeur peut être de signe positif ou de signe négétaif. Si le signe de la valeur du travail est positif, cela signifie que le transfert d'énergie associé a lieu en faveur du système : le système reçoit de l'énergie, le travail est moteur. Si le signe de la valeur du travail est négatif, cela signifie que le transfert d'énergie associé a lieu en défaveur du système : le système cède de l'énergie, le travail est résistant. Si le travail d'une force est nul, le système ne reçoit pas et ne cède pas d'énergie sous l'effet de cette force.

Ex. de la luge :
Le père tire la luge avec une force constante en direction, en sens et en norme égale à 500 N. Le déplacement horizontal AB mesure 1,0 m. Le vecteur force et le vecteur déplacement forment entre eux un angle de 20°. Le travail de la force exercée par le père sur le déplacement étudié vaut :

`W_{"AB"}(vec(F))=500\ N\times 1,0\ m\times cos(20°)=0,47\ kJ`.

Dans cet exemple, le père se fatigue, il cède de l'énergie : l'énergie qu'il perd est transférée au système luge-enfant sous la forme d'un travail.

Mais qu'est devenue cette énergie que le père a donnée et que le système luge-enfant a reçue ? Elle a permis au système de gagner en vitesse.
Tout le travail que le système a reçu, c'est autant d'énergie cinétique que le système a gagnée. Ce constat est formalisé par le théorème de l'énergie cinétique :

Toutes les forces peuvent être classées parmi deux catégories :

• les forces conservatives sont les forces dont le travail entre deux points A et B a la même valeur, quel que soit le chemin emprunté par le système en partant de A pour rejoindre B. Parmi elles figurent le poids, la force gravitationnelle, la force électrostatique, la force de rappel d'un ressort ou d'un élastique, ... ;
• les autres forces sont dites non conservatives. Il s'agit notamment de toutes les forces de frottement.

Sur cette figure, trois chemins peuvent être empruntés par le système pour déplacer le point d'application de la force de A jusqu'à B. Si la force est conservative, alors :

`W_{"chemin 1"}(vec(F))`	`=W_{"chemin 2"}(vec(F))`
	`=W_{"chemin 3"}(vec(F))`

Les forces conservatives sont toutes associées à une forme d'énergie potentielle : l'énergie potentielle de pesanteur pour le poids, l'énergie potentielle gravitationnelle, l'énergie potentielle électrique, l'énergie potentielle élastique, etc.
Si, au cours d'un mouvement sur un trajet AB, un système échange du travail sous l'effet d'une force conservative, son énergie potentielle varie de façon opposée :

`\Delta_ {"AB"} ccE_{"potentielle"}=-W_{"AB"}(vec(F)_"conservative")`

Ex. dans le cas d'une chute verticale vers le bas : une bouteille d'eau de 1 kg accomplit un mouvement de chute verticale vers le bas sous l'effet de son poids d'un point A d'altitude z_A = 2,0 m vers un point B d'altitude z_B = 0 m. Le travail du poids vaut `W_"AB"(vec(F))=m\cdot g\cdot AB` soit `W_"AB"=1,0\ kg\times 9,8\ N/kg\times 2,0\ m` donc 19,6 J.
La variation d'énergie potentielle est égale à l'énergie potentielle du système à la fin moins celle au début, c'est-à-dire :

Démonstration de l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur et de la nature conservative du poids :
On considère un système de masse m placé dans un champ de pesanteur uniforme d'intensité g et dont le mouvement le conduit d'un point A, d'altitude z_A à un point B d'altitude z_B. Déterminons l'expression du travail du poids :

`W_"AB"(vecP)`	`=vecP\cdot vec(AB)`
	`=m\cdot g\cdot AB\cdot cos(vec(P),vec(AB))`

On se souvient qu'en trigonométrie, le cosinus d'un angle est égal au rapport entre la longueur du côté adjacent et l'hypoténuse. L'angle formé par le vecteur poids et le vecteur déplacement est égal à l'angle au sommet A et le triangle ABC est rectangle en C. Ainsi, `cos(vecP,vec(AB))={AC}/{AB}` L'expression du travail du poids devient :

`W_"AB"(vecP)`	`=m\cdot g\cdot AB\cdot {AC}/{AB}`
	`=m\cdot g\cdot cancel(AB)\cdot {AC}/cancel{AB}`
	`=m\cdot g\cdot AC`

La longueur du segment [AC] est obtenue en calculant la différence d'altitude entre les points A et C : `AC=z_A-z_C`.
Comme les points B et C sont à la même altitude, z_C = z_B donc

`W_"AB"(vecP)`	`=m\cdot g\cdot (z_A-z_B)`
	`=m\cdot g\cdot z_A - m\cdot g\cdot z_B`

La valeur du travail du poids ne dépend que de la différence des altitudes des points A et B sans se soucier du chemin suivi pour aller de A à B : le poids est bien une force conservative.
De plus, comme le travail d'une force conservative est opposé à la variation de l'énergie potentielle, on retrouve bien que l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur est `m\cdot g\cdot z`.

On note ℰ_m et on appelle énergie mécanique d'un système la somme de son énergie cinétique et de toutes ses énergies potentielles en un point donné de son mouvement :

Le théorème de l'énergie mécanique énonce que l'énergie mécanique d'un système soumis à des forces extérieures varie comme les travaux des forces non-conservatives :

Un système soumis à des frottements moteurs gagne en énergie mécanique. Un système soumis à des frottements résistants perd en énergie mécanique.
La conséquence de ce théorème est qu'un système qui serait soumis à des forces conservatives seulement a une énergie mécanique qui ne varie pas, sa valeur est constante, elle se conserve.